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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin (x)}$
b) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin (x)}$
Respuesta
Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin (x)}$
Reportar problema
En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital: Lo de arriba, lo derivo y lo pongo arriba; lo de abajo, lo derivo y lo pongo abajo (Atenti la derivada del numerador, aplicá regla del producto!)
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cos(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^2})}{\cos(x)}
= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})}{\cos(x)}
$
Ahora, cuando tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$, fijate que el denominador tiende a $1$ (eso no hay problema), pero en el numerador nos queda algo que oscila entre $-1$ y $1$. Por lo tanto, este límite no existe.