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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
b) lim⁡x→0x2sin⁡(1x)sin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin (x)}

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→0x2sin⁡(1x)sin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{\sin (x)}

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital: Lo de arriba, lo derivo y lo pongo arriba; lo de abajo, lo derivo y lo pongo abajo (Atenti la derivada del numerador, aplicá regla del producto!)

lim⁡x→02xsin⁡(1x)+x2cos⁡(1x)(−1x2)cos⁡(x)=lim⁡x→02xsin⁡(1x)−cos⁡(1x)cos⁡(x) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \cos(\frac{1}{x})(\frac{-1}{x^2})}{\cos(x)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2x \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})}{\cos(x)}

Ahora, cuando tomamos límite cuando xx tiende a 00, fijate que el denominador tiende a 11 (eso no hay problema), pero en el numerador nos queda algo que oscila entre −1-1 y 11. Por lo tanto, este límite no existe.


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